מתמטריק
קיץ 2026 מועד ב – שאלה 1 סעיף אאינדוקציה 571 · בגרות 571
אינדוקציה · שאלון 571

קיץ 2026 מועד ב – שאלה 1 סעיף א

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה
1נוסח השאלה
2סעיף א (1) – מציאת b
3סעיף א (2) – הוכחה באינדוקציה
📄 נוסח השאלה
נתון כי השוויון
13 + 23 + 33 + … + n3 = n2(n + 1)2b
מתקיים בעבור n = 2. b הוא פרמטר שונה מ־0.
(1) מצאו את הערך של b.
(2) הציבו b = 4 והוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי השוויון הנתון מתקיים לכל n טבעי.
סעיף א (1) – מציאת b
13 + 23 + 33 + … + n3 = n2(n + 1)2b
נציב n = 2. אגף שמאל:
13 + 23 = 1 + 8 = 9
אגף ימין:
22 · 32b = 36b
נשווה:
36b = 9
b = 4
✅ פתרון סופי: b = 4
סעיף א (2) – הוכחה באינדוקציה
13 + 23 + 33 + … + n3 = n2(n + 1)2b
נוכיח: 13 + 23 + … + n3 = n2(n + 1)24
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1
📐 אינדוקציה מתמטית
אגף שמאל: 13 = 1. אגף ימין:
12 · 224 = 44 = 1 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
13 + 23 + … + k3 = k2(k + 1)24
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
📐 אינדוקציה מתמטית
1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי
סעיף א (2) – הוכחה באינדוקציה · המשך
13 + 23 + 33 + … + n3 = n2(n + 1)2b
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צ״ל: 13 + 23 + … + k3 + (k + 1)3 = (k + 1)2(k + 2)24
נציב במקום 13 + 23 + … + k3 את k2(k + 1)24:
📐 הנחת האינדוקציה
צ״ל: k2(k + 1)24 + (k + 1)3 = (k + 1)2(k + 2)24
📐 הנחת האינדוקציה
13 + 23 + … + k3 = k2(k + 1)24
סעיף א (2) – הוכחה באינדוקציה · המשך
13 + 23 + 33 + … + n3 = n2(n + 1)2b
צ״ל: k2(k + 1)24 + (k + 1)3 = (k + 1)2(k + 2)24
בשני המחוברים יש (k + 1)2. נוציא אותו כגורם משותף:
📐 הוצאת גורם משותף
k2(k + 1)24 + (k + 1)3 = (k + 1)2 · [k24 + (k + 1)]
בתוך הסוגריים נעשה מכנה משותף 4:
📐 מכנה משותף
= (k + 1)2 · [k24 + 4(k + 1)4]
= (k + 1)2 · k2 + 4k + 44
📐 הוצאת גורם משותף
ab + ac = a(b + c)
📐 מכנה משותף
a4 + b = a4 + 4b4 = a + 4b4
סעיף א (2) – הוכחה באינדוקציה · המשך
13 + 23 + 33 + … + n3 = n2(n + 1)2b
= (k + 1)2 · k2 + 4k + 44
במונה יש ריבוע של סכום:
📐 נוסחת הכפל המקוצר
k2 + 4k + 4 = (k + 2)2
= (k + 1)2 · (k + 2)24 = (k + 1)2(k + 2)24 ✓
קיבלנו בדיוק את מה שצריך להוכיח, ולכן הטענה נכונה בעבור n = k + 1.
📐 נוסחת הכפל המקוצר
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
סעיף א (2) – הוכחה באינדוקציה · המשך
13 + 23 + 33 + … + n3 = n2(n + 1)2b
13 + 23 + … + (k + 1)3 = (k + 1)2(k + 2)24 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה
1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
📐 צעד ומסקנה
3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי
💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא